RANS&LES

RANS

速度输运方程：

$\frac{ \partial }{ \partial t }( \bar\rho\widetilde{u_i} ) + \frac{ \partial\bar\rho\widetilde{u_i}\widetilde{u_j} }{ \partial x_j } = \frac{ \partial \overline \sigma _{ij} }{ \partial x_j } + \frac{ \partial }{ \partial x_j}( \Gamma_{ij} )$

雷诺应力：

$\Gamma_{ij}=-\bar\rho\widetilde{u_i'u_j'}$

湍动能：

$k=\frac{1}{2}\widetilde{u_i'u_i'}=-\frac{1}{2}\tau_{ii}/\bar\rho$

Boussinesq 假设：

$\Gamma_{ij}-\frac{1}{3}\Gamma_{kk}\delta_{ij}=2\mu_t(\widetilde{S_{ij}}-\frac{1}{3}\widetilde{S_{kk}}\delta_{ij})$

LES

速度输运方程：

$\frac{ \partial }{ \partial t }( \bar\rho\widetilde{u_i} ) + \frac{ \partial\bar\rho\widetilde{u_i}\widetilde{u_j} }{ \partial x_j } = \frac{ \partial \overline \sigma _{ij} }{ \partial x_j } - \frac{ \partial }{ \partial x_j}( \Gamma_{ij} )$

亚格子应力：

$\Gamma_{ij}=\bar\rho(\widetilde{u_iu_j}-\widetilde{u_i}\widetilde{u_j})$

亚格子湍动能：

$k=\frac{1}{2}(\widetilde{u_iu_j}-\widetilde{u_i}\widetilde{u_j})=\frac{1}{2}\frac{\tau_{ii}}{\bar\rho}$

Boussinesq 假设：

$\Gamma_{ij}-\frac{1}{3}\Gamma_{kk}\delta_{ij}=-2\mu_t(\widetilde{S_{ij}}-\frac{1}{3}\widetilde{S_{kk}}\delta_{ij})$

RANS .vs. LES

RANS 中平均的平均相当于只进行了一遍平均。所以在 RANS 中有：脉动的平均 = 0。
但是 LES 过滤之后再过滤，并不相当于一次过滤。因此 LES 中并没有类似的结论。
RANS 中还有：

$\widetilde{u_iu_j}=\widetilde{(\widetilde{u_i}+u_i')(\widetilde{u_j}+u_j')}= \widetilde{ \widetilde{u_i}\widetilde{u_j}+\widetilde{u_i}u_j'+u_i'\widetilde{u_j}+u_i'u_j' }= \widetilde{u_i}\widetilde{u_j}+\widetilde{u_i'u_j'}$

但是在 LES 中，却推导不出这样的结果。